- 证明命题9.1
- 由于$\phi$双射，则同样存在一个双射函数$\sigma = \phi^{-1}$，使得群$\mathbb{H}$与$\mathbb{G}$同构，$\phi(a),\phi(b)\in \mathbb{H}$，$\sigma(\phi(a)\cdot \phi(b))=\phi^{-1}(\phi(a)\cdot \phi(b))=\phi^{-1}(\phi(a\cdot b))=ab$
- 双射函数满射，表明原像的范围与值域的范围相同，$\vert \mathbb{G}/vert = \vert \mathbb{H}\vert $
- $\phi(a\cdot b)=\phi(a) \cdot \phi(b)= \phi(b\cdot a) = \phi(b)\cdot\phi(a)$
- 群$\mathbb{G}$与的生成元与单位元为$g,e$，阶为$n$，则$\phi(g\cdot g)=\phi(g)\cdot\phi(g)=\phi(g^2)$，$\phi(g^n)=\phi(e)$，则群$\mathbb{H}$的生成元与单位元分别为$\phi(g),\phi(e)$，阶也为$n$
- 群$\mathbb{G}$中该子群通过映射$\phi$会成为$\mathbb{H}$的子群，缩小$\phi$的范围，定义一个子群间与$\phi$作用相同的映射$\sigma$，得到结论与上相似
- 给出命题9.2的完整证明。
- 设群 G 是一个无限阶的循环群，$g\in \mathbb{G}$是生成元。定义 $\phi: \mathbb{Z}\mapsto \mathbb{G}$为$\phi:n\mapsto g^n$。
- 则$\phi(m+n)=g^{m+n}=g^mg^n=\phi(m)\phi(n)$
- 显然，$\phi$由定义知满射
- 现证明$\phi$单射，$\phi(a)=\phi(b)$时$g^a=g^b$，又$\mathbb{G}$为无限阶的循环群，当且仅当$a=b$时$g^a=g^b$
- 得证
- 如果$\mathbb{H}_1$和$\mathbb{H}_2$是群$\mathbb{G}$的正规子群，证明$\mathbb{H}_1 \mathbb{H}_2$也是群$\mathbb{G}$的正规子群。
- 对任意$g_1,g_2\in\mathbb{G}$，$g_1\mathbb{H}=\mathbb{H}g_1,g_2\mathbb{H}=\mathbb{H}g_2$
- $(g_1\mathbb{H}_1)(g_2\mathbb{H}_2)=(\mathbb{H}_1g_1g_2)\mathbb{H}_2=(g_1g_2)\mathbb{H}_1\mathbb{H}_2=g_1g_2\mathbb{H}_1\mathbb{H_2}$
- $(g_1\mathbb{H}_1)(g_2\mathbb{H}_2)=(\mathbb{H}_1g_1g_2)\mathbb{H}_2=\mathbb{H}_1\mathbb{H}_2(g_1g_2)=\mathbb{H}_1\mathbb{H_2}g_1g_2$
- $g_1g_2\in\mathbb{G}$，则$g\mathbb{H}_1\mathbb{H_2}=\mathbb{H}_1\mathbb{H_2}g$
- 则$\mathbb{H}_1 \mathbb{H}_2$也是群$\mathbb{G}$的正规子群
- 根据命题9.5，要证明$\mathbb{H}$是$\mathbb{G}$的正规子群，需要证明对任意$g \in \mathbb{G}$，有$g\mathbb{H}g^{-1} = \mathbb{H}$。实际上，条件可以放松到只证明$g\mathbb{H}g^{-1} \subset \mathbb{H}$。请给出证明。
- 因为$g\in\mathbb{G},g\mathbb{H}g^{-1}\subset\mathbb{H}$，则存在$gh_1g^{-1}=h_2,gh_1=h_2g$，此时可得$g\mathbb{H}\subset \mathbb{H}g$
- 同理可得到$\mathbb{H}g\subset g\mathbb{H}$
- 故$g\mathbb{H}=\mathbb{H}g$
- 定义映射$\phi: \mathbb{G}\mapsto \mathbb{G}$为：$g \mapsto g^2$。请证明$\phi$是一种群同态当且仅当$G$是阿贝尔群。
- 对任意$a,b\in\mathbb{G}$，$\phi(a\cdot b) = \phi(a)\phi(b)= a^2b^2=(ab)^2=abab$
- 化简可得到$ab=ba$，该情况成立当且仅当$\mathbb{G}$是阿贝尔群
- 得证
- 设$\phi: \mathbb{G}\mapsto \mathbb{H}$是一种群同态。请证明：如果$\mathbb{G}$是循环群，则$\phi(\mathbb{G})$也是循环群；如果$\mathbb{G}$是交换群，则$\phi(\mathbb{G})$也是交换群。
- 循环群$\mathbb{G}$与的生成元与单位元为$g,e$，阶为$n$，则$\phi(g\cdot g)=\phi(g)\cdot\phi(g)=\phi(g^2)$，$\phi(g^n)=\phi(e)$，则群$\mathbb{H}$的生成元与单位元分别为$\phi(g),\phi(e)$，阶也为$n$
- 交换群:$\phi(a\cdot b)=\phi(a) \cdot \phi(b)= \phi(b\cdot a) = \phi(b)\cdot\phi(a)$
- 证明：如果$\mathbb{H}$是群$\mathbb{G}$上指标为$2$的子群，则$\mathbb{H}$是$\mathbb{G}$的正规子群
- (Chapter8习题)
- 即$[\mathbb{G}:\mathbb{H}]=2$
- 令$\mathbb{G}-\mathbb{H} = \bar {\mathbb{H}}$
- 若$g\in \mathbb{H}, g\mathbb{H} \subseteq \mathbb{H},\mathbb{H}g\subseteq \mathbb{H}$,又$ord(g\mathbb{H}) = ord (\mathbb{H})= ord(\mathbb{H}g)$,故$g\mathbb{H} =\mathbb{H}= \mathbb{H}g$
- 若$g\in \bar{\mathbb{H}}, g\mathbb{H} \not \subseteq \mathbb{H},\mathbb{H}g\not\subseteq \mathbb{H}$,又$ord(g\mathbb{H}) = ord (\mathbb{H})= ord(\mathbb{H}g)=ord({\bar{\mathbb{H}}})$,故$g\mathbb{H} =\bar{\mathbb{H}}= \mathbb{H}g$
- 给定任意群$\mathbb{G}$，$\mathbb{H}$是群$\mathbb{G}$的正规子群。请证明，如果群$\mathbb{G}$是阿贝尔群，则商群$\mathbb{G}/\mathbb{H}$也是阿贝尔群。
- 任取阿贝尔群$\mathbb{G}$中元素$a,b$，满足$ab=ba$
- 在商群中，$a\mathbb{H}b\cdot b\mathbb{H}=\mathbb{H}ab\mathbb{H}=\mathbb{H}ba\mathbb{H}=b\mathbb{H}a\mathbb{H}$，满足交换律，故商群$\mathbb{G}/\mathbb{H}$也是阿贝尔群
- 给定任意群$\mathbb{G}$，$\mathbb{H}$是群$\mathbb{G}$的正规子群。请证明，如果群$\mathbb{G}$是循环群，则商群$\mathbb{G}/\mathbb{H}$也是循环群。
- 取$n$阶循环群$\mathbb{G}$中任意生成元$g$，满足$\mathbb{G}={g,g^2,…,g^{n-1},e}$
- 在商群中，$g\mathbb{H}\cdot g\mathbb{H}=g^2\mathbb{H},…,g^{n-1}\mathbb{H}\cdot g\mathbb{H}=g^n\mathbb{H}=\mathbb{H}$，故商群$\mathbb{G}/\mathbb{H}$也是循环群，注意单位元为$\mathbb{H}$
- 设$p$和$q$是两个不同的素数，$\mathbb{G}$是阶为$pq$的阿贝尔群，请证明$\mathbb{G}$是循环群
- $\mathbb{G}$的两个真子群$\mathbb{H}_1,\mathbb{H}_2$为循环群，群阶分别为$p,q$，又每个群中非单位元元素都是生成元，故$\mathbb{H}_1\cap\mathbb{H}_2={e}$
- 则群$\mathbb{G}\mapsto\mathbb{H}_1\oplus\mathbb{H}_2\mapsto\mathbb{Z}_p\oplus\mathbb{Z}_q$，且存在同构映射$\mathbb{H}_1\oplus\mathbb{H}_2\mapsto\mathbb{H}_1\times\mathbb{H}_2={(h_1,h_2)}$
- 现证 ${\mathbb{Z}_p}\oplus{\mathbb{Z}_q}\mapsto{\mathbb{Z}_p}\times{\mathbb{Z}_q} \cong \mathbb{Z}_g, g=pq$
- 任意取各自的生成元$a,b$，则$pq(a,b)=(0,0)$，则群$\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_q$的阶整除$pq$，又$qa\neq 0,pb\neq 0$，故$\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_q$为循环群且阶为$pq$
- 故$\mathbb{G}$为循环群
- 设$\phi: \mathbb{G}\mapsto \mathbb{H}$是一种群同态。请证明$\phi$是单射当且仅当$\mbox{Ker}\; \phi = {e}$。
- 若$\vert \mbox{Ker}\; \phi\vert > 1$，则存在非单位元在映射$\phi$的作用下生成$\phi(e)$，此时非单射
- 若$\phi$是单射则$\vert \mbox{Ker}\; \phi\vert = 1,\mbox{Ker}\; \phi = {e}$
- 得证