CINTA-HW4

第六章习题

设$\mathbb{G}$是群,对任意$n\in N$, $i \in [0, n]$，$g_i \in \mathbb{G}$。证明$g_0 g_1 \cdots g_n$的逆元是$g_n^{-1} \cdots g_1^{-1} g_0^{-1}$
- 对任意$n∈N,i∈[0,n]，g_i,(g_i)^{-1}\in\mathbb{G},g_i(g_i)^{-1}=e$，由于$(g_0g_1···g_n)\ast (g_n^{-1}···g_1^{-1}g_0^{-1})=(g_0g_1···g_{n-1})\ast e\ast (g_{n-1}^{-1}···g_1^{-1}g_0^{-1})=e,\mathbb{G}$,则$g_0g_1···g_n$的逆元是$g_n^{-1}···g_1^{-1}g_0^{-1}$
证明：任意群$\mathbb{G}$的两个子群的交集也是群$\mathbb{G}$的子群。
- 设分别为子群$\mathbb{H},\mathbb{K}$
- 对任意$a\in\mathbb{H}\cap\mathbb{K}$,由于$a\in\mathbb{H},a\in\mathbb{K}$,则$a^{-1}\in\mathbb{H},a^{-1}\in\mathbb{K}$,故$a^{-1}\in\mathbb{H}\cap\mathbb{K}$,交集存在逆元
- 对任意$a,b\in\mathbb{H}\cap\mathbb{K}$,$ab\in\mathbb{H}\cap\mathbb{K}$,交集满足封闭性
- 存在$e\in\mathbb{H},\mathbb{K}\Rightarrow e\in\mathbb{H}\cap\mathbb{K}$,交集存在单位元
$\mathbb{G}$是阿贝尔群,$\mathbb{H}$和 $\mathbb{K}$是$\mathbb{G}$的子群。请证明$\mathbb{H} \mathbb{K}=\lbrace hk: h \in \mathbb{H}, k \in \mathbb{K}\rbrace $是群$\mathbb{G}$的子群。如果$\mathbb{G}$不是阿贝尔群,结论是否依然成立？
- 存在$e\in\mathbb{H},\mathbb{K}\Rightarrow e\ast e=e\in\mathbb{HK}$,存在单位元
- 对于$h_0,h_1,h_0h_1\in\mathbb{H},k_0,k_1,k_0k_1\in\mathbb{K}\Rightarrow h_0k_0,h_1k_1,h_0h_1k_0k_1\in\mathbb{HK}$
- 若$\mathbb{G}$是阿贝尔群,$h_0k_0(h_1k_1)=h_0((k_0k_1)h_1)=(h_0h_1)(k_0k_1)\in\mathbb{HK}$,满足封闭性
- 若不是,则不一定满足封闭性
- 对于$h,h^{-1}\in\mathbb{H},k,k^{-1}\in\mathbb{K}\Rightarrow hk,h^{-1}k^{-1} \in\mathbb{HK}$
- 若$\mathbb{G}$是阿贝尔群,$hkh^{-1}k^{-1}=hh^{-1}kk^{-1}=e$,存在逆元
- 若不是,$\mathbb{HK}$中不一定存在逆元
- 由上当$\mathbb{G}$是阿贝尔群,结论成立,若不是,则不一定成立
设$\mathbb{G}$是阿贝尔群,$m$是任意整数,记$\mathbb{G}^m = \lbrace g^m: g\in \mathbb{G}\rbrace $。请证明$\mathbb{G}^m$是$\mathbb{G}$的一个子群。
- 因为$\mathbb{G}$是阿贝尔群,对任意$g,h\in\mathbb{G},g\ast h=h\ast g$
- $g^m,h^m,gh\in\mathbb{G}$
- $g^mh^m=g\ast …\ast g\ast h\ast …\ast h=gh\ast gh\ast …\ast gh=(gh)^m\in\mathbb{G^m}$,满足封闭性
- $e\in\mathbb{G},e=e^m\in\mathbb{G}^m$,存在单位元
- 因为$g^m(g^{-1})^m=g\ast …\ast g\ast g^{-1}\ast …\ast g^{-1}=gg^{-1}\ast …\ast gg^{-1}=e$,且$\mathbb{G}^m$满足封闭性,则存在逆元
- 得证

第7章习题LaTex代码：

证明：如果群$\mathbb{G}$没有非平凡子群,则群$\mathbb{G}$是循环群。
- 若$\mathbb{G}$不是循环群,对于任意非单位元元素$x\in\mathbb{G}$,在群操作下可以形成一个新的子群$C=$,且$C \subset \mathbb G$,此时群$\mathbb{G}$有非平凡子群
- 得证
证明推论7.3,即循环群$\mathbb{G}$中任意元素的阶都整除群$\mathbb{G}$的阶。
- 由命题7.5知,循环群$\mathbb{G}$中任意元素$h=g^k$的阶都为$n/d,d=gcd(k,n)$
- 显然可知$n/d \vert n \Leftrightarrow n \vert nd$,得证
编程完成以下工作：给定一个素数$p$,找出$Z_p^\ast $的最小生成元。对于素数$1< p < 10000$,哪一个素数$p$使得$Z_p^\ast $的最小生成元最大？

def find_gen(p):
	Zn = Zmod(p)
	for i in range(1, p):
		if Zn(i).multiplicative_order() == (p - 1):
			print(i)

def find_smallest(n):
	max = 2
	max_index = 1
	lst = prime_range(1, n)
	for p in lst:
		Zn = Zmod(p)
		for i in range(1, p):
			if Zn(i).multiplicative_order() == (p - 1):
				if max < i:
					max = i
					max_index = p
				break
	print(max_index," ",max)
sage: find_smallest(10000)                                                                   
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第8章习题LaTex代码：

1. 如果$\mathbb{G}$是群,$\mathbb{H}$是群$\mathbb{G}$的子群,且$\lbrack \mathbb{G} : \mathbb{H}\rbrack =2$,请证明对任意的$g\in \mathbb{G}$,$g \mathbb{H} = \mathbb{H}g$。

令$\mathbb{G}-\mathbb{H} = \bar {\mathbb{H}}$
若$g\in \mathbb{H}, g\mathbb{H} \subseteq \mathbb{H},\mathbb{H}g\subseteq \mathbb{H}$,又$ord(g\mathbb{H}) = ord (\mathbb{H})= ord(\mathbb{H}g)$,故$g\mathbb{H} =\mathbb{H}= \mathbb{H}g$
若$g\in \bar{\mathbb{H}}, g\mathbb{H} \not \subseteq \mathbb{H},\mathbb{H}g\not\subseteq \mathbb{H}$,又$ord(g\mathbb{H}) = ord (\mathbb{H})= ord(\mathbb{H}g)=ord({\bar{\mathbb{H}}})$,故$g\mathbb{H} =\bar{\mathbb{H}}= \mathbb{H}g$

2. 设$\mathbb{G}$是阶为$pq$的群,其中$p$和$q$是素数。请证明$\mathbb{G}$的任意真子群是循环群。

对于$\mathbb{G}$的任意真子群$\mathbb{H}$,$\vert\mathbb{G}\vert/\vert\mathbb{H}\vert = [G : H]=pq/\vert\mathbb{H}\vert$,则$\vert\mathbb{H}\vert$的阶有限且为素数或1,平凡群本身即循环群
- 现证明一个更强的命题,即阶为质数的群$\mathbb{H}$为循环群
  - 任意取$\mathbb{H}$中非单位元元素$h$,构造出一个子群$\lbrace h,h^2,…,1\rbrace $,若这个群是$\mathbb{H}$的真子群,由拉格朗日定理知,素数因数除其本身仅含1,矛盾
  - 该子群既为$\mathbb{H}$子群又不是真子群,则为$\mathbb{H}$本身,构造说明其为循环群,则$\mathbb{H}$本身为循环群
- 得证

3. 如果群$\mathbb{H}$是有限群$\mathbb{G}$的真子群,即存在$g\in \mathbb{G}$但是$g \not \in \mathbb{H}$。请证明 $\vert\mathbb{H} \vert\leq \vert\mathbb{G}\vert/2$。

因为$e\neq g$,故$\mathbb{H}$至少划分出两个不同的左陪集,又$[G : H] = \vert\mathbb{G}\vert/\vert\mathbb{H}\vert$,$\vert\mathbb{H}\vert= \vert\mathbb{G}\vert/[G : H]\leq \mathbb{G}/2$

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